2016-2017学年度下学期高三第一次模拟考试试题
数学(理科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设,,则( )
A. B. C. D.
2.复数,且,则的值是( )
A. B. C. D.2
3.设样本数据的均值和方差分别为1和4,若(为非零常数,),则的均值和方差分别为( )
A.,4 B., C.1,4 D.1,
4.公差不为零的等差数列的前项和为.若是与的等比中项,,则等于( )
A.18 B.24 C.60 D.90
5.设和为双曲线的两个焦点,若是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
6. 设,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是( )
A.18 B. C. D.
8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
9.的展开式共( )项
A.10 B.15 C.20 D.21
10.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求,的长度大于1米,且比长0.5米,为了稳固广告牌,要求越短越好,则最短为( )
A.米 B.2米 C.米 D.米
11.已知函数在上满足,则曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆的左焦点为,有一小球从处以速度开始沿直线运动,经椭圆壁反射(无论经过几次反射速度大小始终保持不变,小球半径忽略不计),若小球第一次回到时,它所用的最长时间是最短时间的5倍,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.等比数列的公比,已知,,则的前4项和 .
14.如图所示,输出的的值为 .
15.已知四面体,,,,,则该四面体外接球半径为 .
16.设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知函数,且当时,的最小值为2.
(1)求的值;
(2)先将函数的图象上点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的,再将所得的图象向右平移个单位,得到函数的图象,求方程在区间上所有根之和.
18. 某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛(任意两个参赛队伍只比赛一场),有高一、高二、高三共三个队参赛,高一胜高二的概率为,高一胜高三的概率为,高二胜高三的概率为,每场胜负相互独立,胜者记1分,负者记0分,规定:积分相同时,高年级获胜.
(1)若高三获得冠军的概率为,求;
(2)记高三的得分为,求的分布列和期望.
19.如图所示,三棱柱中,已知侧面,,,.
(1)求证:平面;
(2)是棱所在直线上的一点,若二面角的正弦值为,求的长.
20. 已知抛物线,直线交于两点,是的中点,过作轴的垂线交于点.
(1)证明:抛物线在点处的切线与平行;
(2)是否存在实数,使以为直径的圆经过点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
21. 已知函数.
(1)若在区间上单调递增,求实数的取值范围;
(2)设的导数的图象为曲线,曲线上的不同两点,所在直线的斜率为,求证:当时,.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,正方形的顶点都在上,且依逆时针次序排列,点的极坐标为.
(1)求的直角坐标;
(2)设为上任意一点,求的取值范围.
23.选修4-5:不等式选讲
设不等式的解集为,.
(1)证明:;
(2)比较与的大小,并说明理由.
2016-2017学年度下学期高三第一次模拟考试试题
数学(理科)参考答案
一、选择题
1-5:BAACB 6-10:DCBBD 11、12:DC
二、填空题
13. 14.17 15. 16.
三、解答题
17.解:(1),
所以,因为,所以.
,所以.
(2)依题意得,由得,
或,
所以或,所以或.
所以,所有根的和为.
18.解:(1)高三获得冠军有两种情况:高三胜两场;三个队各胜一场.
高三胜两场的概率为.
三个队各胜一场的概率为.
所以,所以.
(2)高三的得分的所有可能取值为0,1,2,
,,,
所以的分布列为:
故的期望为.
19.(1)证明:因为面,所以,
在中,由余弦定理得,故.
又,所以平面.
(2)由(1)可知两两垂直,
建立如图空间直角坐标系,
则,,,,
所以.
设,
所以.
,,设平面的一个法向量为,
则,令,则,,
所以,面的法向量为.
由,得,解得或.
所以时,;时,.
20.(1)证明:设,,把代入得.
所以,,所以.
因为,所以抛物线在点处的切线斜率为,故该切线与平行.
(2)假设存在实数,使以为直径的圆经过点,则.
由(1)知,又因为垂直于轴,
所以,
而.
所以,解得.
所以,存在实数使以为直径的圆经过点.
21.解:(1)由,得,
由已知得在上恒成立,即恒成立.
设,则,所以在上单调递减,
,所以.
(2)证明:等价于,等价于,
而
.
所以只需证明.
即或,
而显然不可能对一切正实数均成立,
所以只需证成立.
因为,设,,
得,当时,.
在上,递减;在上,递增.
所以,所以,
所以,即当时,.
22.解:(1)依题意得的极坐标为,,,,
所以的直角坐标为,,,.
(2)设,其中.
则,
所以,故取值范围是.
23.解:(1)证明:记,
则,所以解得,故.
所以.
(2)由(1)得,.
.
所以.