高中数学知识点总结

三角函数

同角三角函数的基本关系﹑诱导公式

【背一背基础知识】

1. 掌握同角三角函数的基本关系式：,.

2. 诱导公式

诱导公式一：，，，其中

诱导公式二： ；  ，

诱导公式三： ；     ，

诱导公式四：； ，

诱导公式五：； ，

诱导公式六：；  ，

诱导公式七：；  ，

3.正弦函数，余弦函数，正切函数的图象与性质

性质
图象
定义域
值域
最值	当时，；当 时，．	当时， ；当 时，．	既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性	奇函数	偶函数[来源:学科网ZXXK]	奇函数
单调性	在 上是增函数；在 上是减函数．	在上是增函数；在上是减函数．	在 上是增函数．
对称性	对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.	对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.	对称中心 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.

4．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

当函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的______；往返振动一次所需要的时间T＝，叫做振动的________；单位时间内往返振动的次数f＝＝，叫做振动的________；ωx＋φ叫做________；φ叫做________(即当x＝0时的相位)．

5．参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的影响：

(1)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标______(当A>1时)或________(当0<A<1时)到原来的____倍(横坐标不变)而得到，函数y＝Asin x的值域为______，最大值为______，最小值为______．

(2)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

y＝sin(x＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点________(当φ>0时)或______(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到．

(3)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标_______(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．

6．两角差的余弦公式：

cos(α－β)＝________________________________________________________．

cos(α＋β)＝________________________________________________        .

7．两角和与差的正弦公式

sin(α＋β)＝_______________________________________________________．

sin(α－β)＝________________________________________________________．

8．两角互余或互补

(1)若α＋β＝，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与＋α互余，＋α与－α互余．

(2)若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与π－α互补，α＋与π－α互补．

9．两角和与差的正切公式

tan(α＋β)＝_____________________________________________________．

tan(α－β)＝_____________________________________________________．

10．两角和与差的正切公式的变形

(1)T_(α＋β)的变形：

tan α＋tan β＝____________________________________________________________．

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝__________________________________________．

tan αtan β＝_____________________________________________________________．

(2)T_(α－β)的变形：

tan α－tan β＝____________________________________________________________．

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝__________________________________________．

tan αtan β＝______________________________________________________________．

11．倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α，sin cos ＝sin α；

cos 2α＝cos²α－sin²α＝2cos²α－1＝1－2sin²α；

tan 2α＝．

12．倍角公式常用变形

(1)＝__________，＝__________；

(2)(sin α±cos α)²＝__________；

(3)sin²α＝__________，cos²α＝______________．sin²＝__________，cos²＝__________．

2．半角公式

(1)sin ＝____________；(S)

(2)cos ＝______________；(C)

(3)tan ＝__________；(T)

(4)tan ＝__________________＝__________________________________________．

平面向量

1．向量：既有______，又有______的量叫向量．

2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作______．

3．向量的有关概念：

(1)零向量：长度为____的向量叫做零向量，记作__________．

(2)单位向量：长度为____的向量叫做单位向量．

(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．

①记法：向量a平行于b，记作a∥b．

②规定：零向量与任一向量平行．

(1)三角形法则

已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量______叫做a与b的和(或和向量)，记作________，即a＋b＝＋＝______．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．

对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝______＋______＝______．

(2)平行四边形法则

已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

(3)多边形法则

已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的______为始点，第n个向量的______为终点的向量叫做这n个向量的和向量．即＋＋…＋_n＋1＝________．这个法则叫做向量求和的多边形法则．

4．向量加法的运算律

(1)交换律：a＋b＝__________．

(2)结合律：(a＋b)＋c＝________．

5.向量的减法

(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________．

(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝______．如图所示．

(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．例如：－＝．

6．向量的数乘

(1)定义：一般地，实数λ与向量a的乘积是一个__________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．

(2)规定：|λa|＝|λ||a|．当λ>0时，λa的方向与a的方向______；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝____．

(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到．

2．向量数乘的运算律

向量的数乘运算满足下列运算律：

设λ，μ为实数，则

(1)(λ＋μ)a＝________；

(2)λ(μa)＝(______)a；

(3)λ(a＋b)＝________(分配律)．

特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，

λ(a－b)＝________．

7．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ₁、μ₂，恒有

λ(μ₁a±μ₂b)＝λμ₁a±λμ₂b．

8．平行向量基本定理

(1)平行向量基本定理：如果a＝λb，则______；反之，如果a∥b，且________，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb．

(2)a的单位向量：给定一个非零向量a，与a________且____________的向量，叫做向量a的单位向量．记作a₀，则a＝__________或a₀＝________．

9．轴上向量的坐标

(1)规定了方向和长度单位的直线叫做____．当在轴上选一定点O作为原点时，轴就成了数轴．

(2)轴上向量的坐标：已知轴l，取单位向量e，使e的方向与轴l的方向相同，对轴上任一向量a，       存在唯一实数x，使a＝xe，单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量)．

①给定单位向量e，能生成与它平行的所有向量的集合__________________；

②x的绝对值等于________；当a与e同方向时，x是________，当a与e反方向时，x是______．

于是在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系，我们就可用数值来表示向量．

10．轴上向量的坐标运算

(1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设a＝x₁e，b＝x₂e，则a＝b⇔________．

(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设a＝x₁e，b＝x₂e，则a＋b＝____________________．

(3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，即在数轴x上，＝x₁e，＝x₂e，则AB＝________．

(4)数轴上两点的距离公式：|AB|＝________．

11．平面向量基本定理

(1)定理：如果e₁，e₂是同一平面内的两个________的向量，那么对于这一平面内的________向量a，存在唯一的一对实数a₁，a₂，使a＝________________．

(2)基底：把不共线的向量e₁，e₂叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

12．平面向量的直角坐标

(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个________的向量，叫作把向量正交分解．

(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝______________，则________叫作向量a的坐标，________叫作向量的坐标表示．

(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝________，若A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则＝____________．

13．平面向量的直角坐标运算

(1)若a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则a＋b＝______________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

(2)若a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则a－b＝________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

14．两向量共线的坐标表示

设a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)．

(1)当a∥b时，有______________．

(2)当a∥b且x₂y₂≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．

2．若＝λ，则P与P₁、P₂三点共线．

当λ∈________时，P位于线段P₁P₂的内部，特别地λ＝1时，P为线段P₁P₂的中点；

当λ∈________时，P位于线段P₁P₂的延长线上；

当λ∈________时，P位于线段P₁P₂的反向延长线上．

15.平面向量的数量积：

(1)已知非零向量与，它们的夹角为，则把||||叫做与的数量积，

记作，记作=||||，规定=0.注意平面向量的数量积是一个实数，既可以为正，也可以为负，也可以为0，与向量其他运算区别开来.

(2)向量的投影：||叫向量在向量方向上的投影，它是一个实数，而不向量.

      向量在向量方向上的投影为.

(3).平面向量的数量积的几何意义

等于的模与在向量方向上的投影的乘积.

16．向量数量积的运算律

(1)a·b＝________(交换律)；

(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；

(3)(a＋b)·c＝____________(分配律)．

17．熟悉以下计算结果

(1)a²＝a·a＝__________；

(2)(a＋b)²＝______________＝_____________________________________________；

(3)(a－b)²＝__________________＝_________________________________________；

(4)(a＋b)·(a－b)＝______________＝________________________________________；

(5)|a＋b|²＋|a－b|²＝________________．

18．平面向量数量积的坐标表示

若a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则a·b＝_______________________________________．

即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．

19．两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，

则a⊥b⇔______________．

20．平面向量的模

(1)向量模公式：设a＝(x₁，y₁)，则|a|＝_____________________________________．

(2)两点间距离公式：若A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则||＝__________________________．

21．向量的夹角公式

设两非零向量a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝____         _______

＝__________________________．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解三角形

1．在△ABC中，A＋B＋C＝______，＋＋＝.

2．在Rt△ABC中，C＝，则＝______，＝______.

3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_________                     ，

这个比值是________________．

5．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．

 

6．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：

(1)sin A∶sin B∶sin C＝____________；

(2)＝＝＝＝__________；

(3)a＝__________，b＝__________，c＝__________；

(4)sin A＝________，sin B＝________，sin C＝__________.

（5）三角形面积公式：

①S＝____________(h_a表示a边上的高)；

②S＝absin C＝____________＝______________；

③S＝(可由正弦定理推得)；

④S＝2R²sin A·sin B·sin C(R是三角形外接圆半径)；

⑤S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

（6）在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：

(7)A＋B＋C＝______，＝________________.

(8)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，tan(A＋B)＝________.

(9)sin ＝__________，cos ＝____________________________________.

(10)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；

(11)a>b⇔______⇔____________；

 

8．余弦定理

三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a²＝________________，b²＝________________，c²＝____.

9．余弦定理的推论

cos A＝________________；cos B＝______________；cos C＝________________.

10．在△ABC中：

(1)若a²＋b²－c²＝0，则C＝________；

(2)若c²＝a²＋b²－ab，则C＝________；

(3)若c²＝a²＋b²＋ab，则C＝________.