沈阳市二十中学、庄河市高级中学
2018届高三上学期开学考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
2.已知复数
（
）的实部和虚部相等，则
（ ）
A．2 B．3 C．
D．
3.若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C. 
D．
4.下列选项中说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若向量
满足
，则
与
的夹角为锐角
C. 命题“
为真”是命题“
为真”的必要条件
D．“
，
”的否定是“
，
”
5.若双曲线
：
的左、右焦点分别是
，
为双曲线上一点，且
，
，
，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C．
D．
6.等差数列
中，
，则
（ ）
A．10 B．20 C. 40 D．
7.在区间
上随机取一个
的值，执行如下的程序框图，则输出
的概率为（ ）
A．
B．
C. 
D．
8.将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
1 B．
C．
D．6
9.在等比数列中，“
是方程
的两根”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．即不充分也不必要条件
10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥
为鳖臑，
平面
，
，
，三棱锥的四个顶点都在球
的球面上，则球的表面积为（ ）
A．
B．
C. 
D．
11.函数
，则（ ）
A．
B．
C. 
D．
的大小关系不能确定
12.如图所示点
是抛物线
的焦点，点
分别在抛物线及圆
的实线部分上运动，且
总是平行于轴，则
的周长的取值范围是（ ）
A．
B．
C. 
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知单位向量
满足
，则向量与
的夹角为 ．
14. 已知函数
是偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处切线的斜率为 ．
15.已知函数
（
为正实数）只有一个零点，则
的最小值为 ．
16.设
是数列的前
项和，且
，
，则
．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知直线
是函数
的图象的一条对称轴.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设
中角
所对的边分别为
，若
，且
，求
的取值范围.
18.学校为了了解两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）：
班：5、5、7、8、8、11、14、20、22、31；
班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35.
将上述数据作为样本.
（1）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出2条）；
（2）分别求样本中两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；
（3）从班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为
，从班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为
，求
的概率.
19.如图所示，在四棱锥
中，四边形
为矩形，
为等腰三角形，
，平面
平面，且
，
，
分别为
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）证明：平面
平面；
（3）求四棱锥的体积.
20.设点是轴上的一个定点，其横坐标为（
），已知当
时，动圆
过点且与直线
相切，记动圆的圆心的轨迹为
.
（1）求曲线的方程；
（2）当
时，若直线
与曲线相切于点
（
），且与以定点为圆心的动圆也相切，当动圆的面积最小时，证明：
两点的横坐标之差为定值.
21.已知函数
，
，且函数的图象在点
处的切线与直线
平行.
（1）求
；
（2）求证：当
时，
.
请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一题计分.
22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线的方程为
，点
.
（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；
（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形
的一边平行于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标.
23.已知函数
.
（1）若不等式
的解集为
，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若，使得
，求实数
的取值范围.