丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学
2017届高三联考理科数学试卷
命题人：龚新华 审题人：石林
考试时间：120分 总分：150分 （2016.11.27）
一、单项选择题（每题5分，共60分）
1．集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．1个
B．2个 C．3个 D．4个
2．函数
的零点所在的一个区间（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
图象的一条对称轴为
，那么
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 若不等式
，对任意的
上恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
,数列
的前n项和
为
,数列
的通项公式为
,则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在平面直角坐标系中，
是坐标原点，两定点
满足 则点集
，
（
）所表示的区域的面积是（ ）
A．8 B．
C．4 D．
7．定义
为
个实数
的“均倒数”。已知
数列
的前项的“均倒数”为
，前n项和
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知三棱柱
的侧棱与底面边长都相等，
在底面
上的射影为
的中点，则异面直线
与
所成的角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
9、若关于
的函数
的最大值为
，最小值为
，且
，则实数
的值为（ ）
A．1
B.2 C.3 D．4
10．如图，矩形ABCD中，
，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列结论中：①|BM|是定值；②点M在球面上运动；③DE⊥A1C；④MB∥平面A1DE.其中错误的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如图，已知正方体
棱长为4，点
在棱
上，且
，在侧面
内作边长为1的正方形
，
是侧面内一动点，且点到平面
距离等于线段
的长，则当点运动时，
的最小值是（ ）
A．21 B．22 C．23 D． 25
12．数列
满足
与
（
与分别表示
的整数部分与分数部分），则
＝（ ）
A.
B．
C．
D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13.复数
，
是它的共轭复数，则
＝_________．
14．已知
中．AB＝BC，延长CB至D，使AC
AD，若
则
_________.
15．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则
的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进—尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进—尺，以后每天减半，如果墙足够厚，
为前天两只老鼠打洞之和，则
尺．
16．已知点
，其中
，且
，
，若四边形
是矩形，则此矩形绕轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为________．
三、解答题（本题6小题，共70分）
17．已知函数
．
（Ⅰ）求
的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）若
为的一个零点，求
的值．
18．下图为一简单组合体，其底面为正方形，
平面，
，且
，为线段
的中点．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积．
19．在等比数列
中，
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，且
为递增数列，若
，求证：
．
20.
（1).当a=1时,求函数f(x)的单调区间及在(1,f(1))处的切线与曲线C的另一交点的横坐标
（2）证明:若对于任意非零实数
,曲线C与其点
处的切线交于另一点
(
,曲线C与其在点(
)处的切线交于另一点
,线段
,
与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为
、
，则
为定值
21．已知三棱柱在
中, 侧面
为正方形, 延长到
,使得
,平面
平面
.[来源:学科网ZXXK]
（1）若
分别为
的中点, 求证：
平面；
（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
22．已知函数
．
（1）求函数
的极值；
（2）设
，比较
与1的大小关系，并说明理由．
2017届高三联考理科数学试卷答案
一、单项选择题
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A．7. C 8．D 9.B 10．A 11．B 12．B
二、填空题
三、解答题
17．（I）
，………………3
所以的最小正周期为
，
因为
，∴
，
所以函数的单调递增区间是
．………………5
（II）
，∴
，
因为
，
，∴
，所以
，……………8
……………………10
18．（Ⅰ）连结
与
交于点
，则为的中点，连结
，∵为线段的中点，∴
且
………………………2
又
且
∴
且
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
∴四边形
为平行四边形，
∴
, 即
．………………………3
又∵
平面
, 
面,
∴
,
∵, ∴
, ………………5
（Ⅱ）∵平面
，
平面
,
∴平面平面
∵
，平面
平面
，
平面，
∴
平面. ………………………9
三棱锥的体积
………………12
19．（1）∵
，
∴
，………………………3
∴
．………………5
（2）由题意知
，………………………7
∴
，………………………9
∴
．………………12
20．（i）有
得
．
当
和(
，
)时，
；
当
时，
。
因此，的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
。………………4
曲线
在点
处的切线方程为
,得
，
故另一交点的横坐标为－2，……………………6
（ⅱ）曲线在点
处的切线方程为
，即
由
得
即
，
解得
或
，
故
。……………………………………9
进而有
用
代替
，重复上述计算过程，可得
和
。
又
，所以
，因此有
。………………………12[来源:学科网]
21．（1）见解析；（2）
．
[来源:学。科。网]
（1）取
的中点
,连接
,在
中，
为中位线,
．
平面
平面
平面,
同理可得
平面,又
,所以平面
平面．
平面
平面.………………………5
（2）连接
,在
中,
，
所以由余弦定理得
，
是等腰直角三角形，∴
,
又因为平面平面，平面
平面
平面．[来源:Zxxk.Com]
平面,
,又因为侧面为正方形，
，………………………8
分别以
所在直线作为轴, 
轴,
轴建立空间直角坐标系,
设
, 则
,………………………9
设平面的一个法向量为
,则
,即
．
令
,则
，故
为平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为
，则
，即
．
令
,则
,故
为平面的一个法向量,
所以
,
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.………………………12
22．（1）当
时，函数无极值，当
时，函数有极大值
，无极小值；（2）
，理由见解析.
（1）依题意
………………………2
①若，则
在
上恒成立，函数无极值；
②若，则
，此时
，
令，解得
，令
，解得
，
故函数的单调增区间为
，单调减区间为
，
故函数的极大值为
，无极小值.
综上所述，当时，函数无极值；当时，函数有极大值，无极小值………………………5
（2）依题意，
，
要比较
与1的大小 ，即比较
与
的大小．
∵
，∴可比较
与
的大小………………………7
令
，即比较
与
的大小．
设
，
则
，………………………9
因为
，所以
，所以函数
在
上单调递减，
故
，所以
对任意恒成立，所以
，
所以 ………………………12