2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）
数学（文科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.B
7. B 8. C 9. A 10.B 11. A 12. C
简答与提示：
1. 【命题意图】本题考查一元二次方程及集合的运算.
【试题解析】由
得
或
. 故选C.
2. 【命题意图】本题考查复数的模.
【试题解析】由
得
.故选A.
3. 【命题意图】本题考查向量共线的条件.
【试题解析】由
，
共线得
即
.故选D.
4. 【命题意图】本题主要考查三角函数辅助角公式.
【试题解析】由
得
.故选B.
5. 【命题意图】本题考查几何概型.
【试题解析】由
为锐角得
位于半圆外， 
.故选D.
6. 
【命题意图】本题主要考查三视图中几何体体积.
【试题解析】可以通过割补法得到两个四棱锥和一个三棱柱.故选B.
7. 【命题意图】本题主要考查函数图象问题.
【试题解析】当
时，对应的阴影面积为0，排除C和D，当
时，对应阴影部分的面积小于整个面积的一半，且随着
的增大，减小的幅度不断变小.故选B.
8. 【命题意图】本题考查抛物线.
【试题解析】
.故选C.
9. 【命题意图】本题考查程序框图.
【试题解析】由题意知
. 故选A.
10. 【命题意图】本题主要考查几何体的外接球的相关知识.
【试题解析】球心
为
中点，
.故选B.
11. 【命题意图】本题主要考查等差数列的性质.
【试题解析】 
,
∴数列
的前2017项和
.故选A.
12. 【命题意图】本题主要考查函数的单调性及导数相关知识.
【试题解析】
在
上有两根.故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 
14. 
15. 
16. 
简答与提示：
13. 【命题意图】本题考查三角函数相关知识.
【试题解析】
，
，
.
14. 【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.
【试题解析】试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，由
，解得
，即点
，当目标函数经过点
时，取得最小值，此时最小值为
．
15. 【命题意图】本题主要考查点到直线距离及双曲线的几何性质.
【试题解析】
到直线
的距离
故.
16. 【命题意图】本题考查数列的相关知识.
【试题解析】 数列
的前几项为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，因此数列 是周期数列，其周期为8，因此
.
三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查正余弦定理及三角形面积公式等.
【试题解析】解：（I）
，
, （1分）
， （4分）
由正弦定理得
即
，得
; （6分）
（II）
,得
, （8分）
由余弦定理得
（10分）
（12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本题主要考查概率统计的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）
城市评分的平均值小于
城市评分的平均值； （2分）
城市评分的方差大于城市评分的方差； （4分）
（Ⅱ）
（5分）
（7分）
所以认为有
的把握认为城市拥堵与认可共享单车无关 （8分）
（Ⅲ） 设事件
“来自不同城市”,设城市的2户记为
，
，城市的4户记为
，
，
，
，其中从中任取
户的基本事件分别为
，
，
，
，
， 
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.共
种 （10分）
其中事件 “来自不同城市”包含的基本事件为，，，，,，
，,共
种，所以事件“来自不同城市”的概率是
. （12分）
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【试题解析】解：（I）
，
，
≌
，得
，
为
中点，
， （2分）
底面
为菱形, 
，
，
平面
， （4分）
平面
，平面
平面 （6分）
（II）连接
交于，在
中，过作
交
于
,连接
和
,
平面
，
平面，
平面 （8分）
∵
，
，
∽
, （10分）
，
,即 
（12分）
20. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系及标准方程.
【试题解析】解：（Ⅰ）
，
，即
（2分）
由
得
，
， （4分）
得
，
，所以椭圆方程为
； （5分）
（Ⅱ）设直线
的方程
，联立方程组
得
的两根为
，
， （7分）
由题意得
，
，
由题意可知
，所以
， （8分）
，
，
（10分）
所以
斜率之和是为定值0 （12分）
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本题主要考查函数与导数的知识，考查学生解决问题的综合能力.
【试题解析】（Ⅰ）
（1分）
当
时，因为
，所以
在
上单增， （2分）
当
时，令
，得
，在
上单减，在
上单增，
综上：当时，增区间为；
当时，减区间为，增区间为. （4分）
（Ⅱ）证明：设
，
， （6分）
设
，
在
上恒成立，
在单调递增， （8分）
，
在恒成立，
即
在上单调递增， （10分）
，所以对
，都有
恒成立. （12分）
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.
【试题解析】解：（Ⅰ）
， （2分）
将
，代入
的普通方程可得
， （4分）
即
，所以曲线
的极坐标方程为 
（5分）
（Ⅱ）点
直角
坐标是
，将
的参数方程
代入
，可得
， （8分）
所以
． (10分)
23.(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.
【试题解析】解：（Ⅰ）原不等式等价于
（2分）
（4分）
解集为 
（5分）
（Ⅱ）∵,,为正数，
所以有
（8分）
∴
（10分）