23个求极值和值域专题
1、求函数
的值域.
2、求函数
的值域.
3、求函数
的值域.
4、求函数
的值域.
5、已知函数
（其中
）的值域是
，求实数
.
6、已知：
为正实数，且
，求函数
的最小值.
7、已知：
，求：
的最小值.
8、设函数
在区间
的最小值为
，最大值为
，求区间.
9、已知：
，求函数
的最大值.
10、求函数：
的最小值.
11、求函数：
的值域.
12、已知实数
满足
和
，求
的最小值.
13、求函数：
的最小值.
14、已知：
，求函数：
的最小值.
15、已知点
在椭圆
上，求
的最大值.
16、求函数：
的值域.
17、求函数：
的值域.
18、求函数：
的最大值.
19、设：
为正实数，且满足
，
试求：
的最小值.
20、已知为正实数，且满足
，
求：
的最大值.
21、设
为锐角，求：
的最小值.
22、设为锐角，求证：
.
23、已知为正实数，求证：
.
23个求极值和值域专题解析
1、求函数的值域.
解析：函数
的定义域为：
.
函数的导函数为：
⑴当
时，
，则
故
即：函数
在
区间为单调递减函数，故：
；
故：函数在该区间的值域是
.
⑵当
时，
，则
即：函数在
区间为单调递增函数，故：
；
故：函数在该区间的值域是
.
综上，函数的值域是
.
本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”.
2、求函数的值域.
解析：函数的定义域是：
. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：
，则柯西不等式为：
即：
令：
，即：
①
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：
② 
③
由②得：
，即：
，即：
④
将①④代入③得：
即：
即：
，即：
⑤
试解⑤，由于
，则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.
则：
，且
. 则：
，
，
代入④得：
，即
时函数取得极大值.
函数极大值为
⑴当
时，函数在本区间为单调递增函数. 故：
即：函数
在区间的值域是
⑵当
时，函数在本区间为单调递减函数. 故：
即：函数在区间的值域是
综上，函数
的值域是
.
本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.
3、求函数的值域.
解析：函数的定义域是：
. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：
，则柯西不等式为：
即：
令：
，即：
①
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：
②
即：
，即：
，即：
即：
，即：
，即：
③
将①式代入③式得：
当
时，函数达到极大值. 极大值为：
函数的导函数为：
⑴当
区间时，
，函数单调递增. 故：
即：函数在本区间的值域是
.
⑵当
区间时，
，函数单调递减. 故：
即：函数在本区间的值域是
.
综上，函数的值域是
.
本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.
4、求函数
的值域.
解析：函数的定义域是：
. 则函数为：
（当
时取负号，当
时取正号）
于是函数的极值在：
即：
即：
，即：
⑴在
区间，函数的极值为：
在区间的边界有：
故：函数在该区间的值域是
.
⑵在
区间，函数
，为单调递减函数.
故有：
；
故：函数在该区间的值域是
.
综上，函数的值域是
. 本题方法属“单调性法”
5、已知函数（其中）的值域是，求实数.
解析：函数的定义域为
.
将函数变形为：
，即：
其判别式不等式为：
即：
①
而函数的值域是，即：
，即：
②
对比①②两式得：
，
，即
，因，故：
故：实数
，
. 此法称为“判别式法”.
6、已知：为正实数，且，求函数的最小值.
解析：首先设
，代入
得：
，即：
，则：
⑴当
时，由均值不等式
，即：
得：
则：
⑵当
时，由均值不等式
，即：
得：
则：
⑶当
时，由均值不等式，即：
代入已知条件， 得：
则：
故：由⑴、⑵、⑶得，
的最小值是
.
本题先确定
均值，然后在
均值和
均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.
7、已知：，求：的最小值.
解析：由已知条件得： 
代入得：
即：
令：
，则方程变为：
采用判别式法得：
，即：
，即：
故：
的最小值是
. 此题采用的是“判别式法”
8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间.
解析：首先，是一个偶函数，在
区间单调递增，在
区间单调递减.
⑴当
时，为单调递减函数，即：
.
故：
是最大值为，
是最小值为. 即：
即：
（*）
（*）两式相减得：
，即： 
①
则: 
，即：
②
（*）两式相加得：
将①②式代入后化简得：
③
由①③得：
，
. 则区间
为
.
⑵当
、
时，的最大值是
，即：
.
i.若
，则的最小值为：
，
即：
，解之及
可得：
，
故此时区间为
.
ii.若
则的最小值为：
，
即：
，
则：
. 不符合题设，即此时无解.
⑶当
时，由是一个偶函数可得：
，故：
是最小值为，是最大值为，即：
即：
则：
为一元二次方程
的两个根，
由韦达定理得：
，则由
得：
异号，不符合题设，即此时无解.
综上，区间
为
或
. 本题采用“分别讨论法”和“极值法”.
9、已知：，求函数的最大值.
解析：由可知，函数
的定义域是：
，
有均值不等式
，即：
即：
即：
当
时，
，
，即可以取到不等式的等号。
故：函数
的最大值是
. 本题采用
，称为“均值不等式”.
10、求函数：的最小值.
解析：函数
其定义域为：
令：
，
则：
，
，
于是：
当
时，
，即：
，
即：
，则：
所以，
是可以取到的. 故的最小值是.
正是由于时，函数
取到极值，所以有人总结出此类题的解法用来解，即设
，代入，
后得：
即： 
，即：
，
即：
，即：
，
这两个结果分别对应于的极小值
和
的极大值.
本题采用的是“向量法”.
11、求函数：的值域.
解析：先求函数的定义域. 定义域为：
本题采用判别式法解题.
由
等价变形为：
即：
式上面方程有解得判别式是：
即：
，即：
故：函数的值域为
. 此法称为“判别式法”
本题亦可以采用换元法和配方法来做.
令：
，则
，
于是：
当
时，即：当
时，达到极小值
. 此法就是“换元配方法”.
12、已知实数满足和，求的最小值.
解析：由已知得：
① 
②
则由柯西不等式得：
③
将①、②代入③得：
即：
，即：
即：
④
其判别式为：
故：方程等号下的两根为：
则：
根据柯西不等式等号成立的条件得：
代入①式得：
，即：
⑤
代入②式得：
，即：
⑥
由⑤⑥两式得：
，即：
即：
，即：
即：
，即：
，即：
则：⑴
，此时：
；此为最大值.
⑵
，此时：
所以，
的最小值为
. 此题解法为“柯西不等式”.
13、求函数：的最小值.
解析：待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：
，则柯西不等式为：
即：
①
则：
令：
，
，则：
，
故：设
，则：
，
，
②
则：
③
将②、③代入①得：
④
柯西不等式①中，等号成立的条件是：
即：
，则：
则： 
，即：
即：
，即：
将
和代入
得：
即：
，即：
于是：当
，
时，柯西不等式④中，等号成立.
即：
的最小值是
.
本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”.
14、已知：，求函数：的最小值.
解析：函数的定义域为：
，
由均值不等式
，即：
得：
即：
，则：
当
时，即：
、
时，
.
故：函数的最小值是
. 此法采用“均值不等式法”.
15、已知点在椭圆上，求的最大值.
解析：函数的定义域为：
，
由柯西不等式得：
即：
，即：
由柯西不等式的等号成立的条件得：
，即：
代入得：
，即：
，即：
则：
，于是，
⑴ 当
，
时，
⑵ 当
，
时，
所以，函数
的最大值是
. 此法是用“柯西不等式”.
本题也可以采用“权方和不等式”
即：，即：
此法为“权方和不等式”.
16、求函数：的值域.
解析：函数的定义域是：
.
待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：，则柯西不等式为：
即：
①
令：，则：
②
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：
，即：
，
即：
，则：
③
将②代入③得：
函数的极值为：
⑴ 在
区间，函数单调递增，故：
于是，函数在该区间的值域是
.
⑵ 在
区间，函数单调递减，故：
于是，函数在该区间的值域是
.
综上，函数的值域是
.
此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”，最后用“单调性法”得到值域.
17、求函数：的值域.
解析：函数的定义域是：. 本题采用判别式法.
令： 
①
则：
②
即：
，即：
即：
③
由③的判别式得：
即：
，即：
，即：
故：
或
，即：
或
由于②式即
的条件必须那满足，故
.
此时，
，函数的值域为
. 此法为“判别式法”.
18、求：的最大值.
解析：由均值不等式得：
所以,两边相加得：
在时，
，即不等式的等号可以取到.
故:的最大值为
. 此法为“均值不等式”.
19、设：为正实数，且满足，
试求：的最小值.
解析：由均值不等式得：
……
不等式两边分别相加得：
即：
当
时，
，即不等式的等号可以取到.
故：
的最小值是
. 此法为“均值不等式”.
20、已知为正实数，且满足，
求：的最大值.
解析：由
由柯西不等式得：
即：
故：
因此，
的最大值是
. 此法为“柯西不等式”.
21、设为锐角，求：的最小值.
解析：
将
与
通分，并与最后一项合并得：
①
由
得：
代入①式得：
②
再由辅助角公式得：
代入②式得：
③
由③式及为锐角，当
达到最大值
时，
达到最小值，
即：当
时，
.
故，当
时，
达到最小值，最小值为
.
此法为“辅助角公式法”.
22、设为锐角，求证：.
解析：因为为锐角，函数定义域为：
，所以，
构造函数：
则函数的导函数为：
因为：
，
，
，所以：
即：在定义域区间，函数为单调递增函数，
故：
，即：. 证毕.
23、已知为正实数，求证：.
解析：采用待定系数法解本题：
令：
，（
），则：
，
于是，
即：
①
令：
，则代入得：
，即：
，即：
将
，
代入①式得：
. 证毕.
此法为“待定系数法”.
另一种方法：参数法
令：
，
，代入得：
即证：
，即证：
，
即证：
即证：
而这是显然成立的. 证毕.